Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería

Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería

El conocimiento y la compresión son prerrequisitos para la aplicaron eficaz de cualquier herramienta. Particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniería. Las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles sino se comprende el funcionamiento de sus sistemas.

Un modelo matemático simple

Se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. La variable dependiente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son por lo común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de los cuales se determina; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema, las funciones de fuerzas son influencias externas que actúan sobre el sistema.

Newton formulo su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razón del cambio del momento con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.

F=MA

Características típicas de  de los modelos matemáticos.

• describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
• representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales.
• finalmente conduce a resultados reproducibles, y en consecuencia llega a emplearse con la finalidad de predecir.

Métodos numéricos.

Son aquellos en los que se reformula el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas.

Solución analítica o exacta.

Es aquella que satisface con exactitud la ecuación diferencial original.

Las aplicaciones en la ingeniería se proponen para ilustrar como se emplean actualmente los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería. Estas aplicaciones nos permitirán examinar la solución a los problemas prácticos que surgen en el mundo real. Establecer la relación entre las técnicas matemáticas como los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería es un paso decisivo para mostrar su verdadero potencial.

Exactitud y Precisión

Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respeto a su exactitud y su precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del verdadero valor. La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos. 

La inexactitud se define como una desviación sistemática del valor verdadero. La imprecisión por otro lado se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos.

Definiciones de Error

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Estas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemáticos exactos, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero y el aproximado esta dado por:

Valor verdadero = valor aproximado + error

Tipos de errores

Si  pnueva  es una aproximación a p, el error se define como:

E = pnueva – p

Error absoluto

EA = │pnueva - p│

Error relativo

EA = │pnueva - p│/  p, si p es diferente a 0

Por ciento de error

E R P  = E R * 100

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada Es. Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones en tales casos las ecuaciones se repiten hasta que:

│Ea│ sea menor a  Es

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido  esta dentro del nivel aceptable fijado previamente Es.

Estimación de error con métodos iterativos

Algunos métodos iterativos numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En tales métodos  se hace una aproximación del error considerado la aproximación anterior. Este proceso se lleva a cabo varias veces para calcular  en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones. En tales casos el error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual.

Por lo tanto el error relativo porcentual aproximado es:

ERPa = aproximación actual – aproximación anterior  /  aproximación actual │*  100

Es importante que cuando se calcule el ERPa este sea menor que una tolerancia  porcentual prefija esta seria: Es

Es.- Tolerancia porcentual prefijada. Los cálculos se repiten hasta que ERPa sea menor que  Es

Si se cumple la condición anterior entonces se considera que el resultado obtenido esta dentro del nivel aceptable fijado previamente.