Ecuaciones diferenciales Método Logístico

El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:

(1)

Donde Mo es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:

 

Catástrofe malthusiana

La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

Donde P₀ es la población inicial y A₀ es la cantidad inicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es a_min, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana t_CM:

Puede verse que para cualesquiera valores positivos de r, k, A₀, P₀ y a_min existe un instante del tiempo dado por t_CM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (1) y (2) no cambian en todo el proceso. La solución de (*) viene dada mediante la función W de Lambert: