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domingo, 10 de octubre de 2010

Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Matemáticos


Modelos matemáticos Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fácil o en el estrato donde se encontraba.
La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:
i) Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podre¬mos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.
ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.
Para algunos fines quizá baste contar con modelos de baja resolución; por ejemplo, en los cursos básicos de física el lector habrá advertido que al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si el lector es un científico cuyo objeto es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá tener en cuenta la resistencia del aire y demás factores, como la curvatura de la Tierra.
Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o mas de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales.
Una vez formulado un modelo matemático (sea una ecuación diferencial o un sistema de ellas), llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Una vez resuelto, comprobamos que el modelo sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado (Fig. 1.9). Al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que debamos conformarnos con una solucion aproximada.


Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variable t, el tiempo. En este caso, una solución del modelo expresa el estado del, sistema; en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro.
Crecimiento y decaimiento  Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un País crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese País en cualquier momento t. En otras palabras, mientras mas personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar






Donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (1) aun se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.
El núcleo de un átomo esta formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas Rn 222, también radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t (o en el momento t):







Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como cabe esperar en (1), k > 0, y en el caso de la desintegración, en (2), k < 0. El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por ejemplo, la determinación de la "vida media" o "periodo medio" de una medicina. Nos referimos al tiempo que tarda el organismo en eliminar 50% de ella, sea por excreción o metabolización.
Lo esencial de haber escrito las ecuaciones (1) y (2) en este ejemplo es:
Una sola ecuación diferencial puede ser modelo matemático de muchos fenómenos distintos.
Con frecuencia, los modelos matemáticos se acompañan de condiciones definitorias; por ejemplo, en las ecuaciones (1), (2) y (6) cabria esperar conocer una población inicial, P0, una cantidad inicial de sustancia, A0, disponible, y un saldo inicial, S0, respectivamente. Si el tiempo inicial se define como t = 0, sabemos que P(0) = P0, que A(0) = A0 y que S(0) = S0. En otras palabras, un modelo matemático esta formado por un problema de valor inicial, "o también  por un problema de valores en la frontera.
Reacciones químicas La desintegración de una sustancia radiactiva, caracterizada por la ecuación diferencial (1), es una reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que se apegan a la siguiente ley empírica: si las moléculas de la sustancia A se descomponen y forman moléculas mas pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esa descomposición es proporcional a la cantidad de la sustancia A que no ha sufrido la conversión; esto es, si X(t) es la cantidad de la sustancia A que queda en cualquier momento, entonces dXldt = ex, donde k es una constante negativa (porque X es decreciente). Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión del cloruro de t butilo (cloruro de terbutilo) para formar alcohol t buti¬lico:
(CH3)3CC1 + NaOH → (CH3)3COH + NaCI
La rapidez de la reacción esta determinada tan solo por la concentración del cloruro de terbutilo.
Ahora bien, en la reacción
CH3CI + NaOH → CH30H + NaCI,
Por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula de hidróxido de sodio para formar una molécula de alcohol metálico y una de cloruro de sodio. En este caso, la razón con que avanza la reacción es proporcional al producto de las concentraciones de CH3CI y NaOH que quedan. Si X representa la cantidad de CH30H que se forma, y a y b son las cantidades dadas de las dos primeras sustancias, A y B, las cantidades instantáneas que no se han convertido en C son α   X y ,β   X, respectivamente; por lo tanto, la razón de formación de C esta expresada por







Donde k es una constante de proporcionalidad. Una reacción cuyo modelo es la ecuación (7) se denomina reacción de segundo orden.
Diseminación de una enfermedad   Cuando se analiza la diseminación de una enfer¬medad contagiosa  la gripe, por ejemplo, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no solo es proporcional a la cantidad de personas, x(t), que la han encontra¬do en el momento t, sino también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es dxldt, entonces







Donde k es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una persona infectada en una población constante de n personas, entonces x y y se relacionan mediante x + y = n + 1. Usamos esta ecuación para eliminar y en la ecuación (8) y obtenemos el modelo







Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación (9) es x(0) = 1.
Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento t, Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea y dTldt es la rapidez con que se enfrié el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático







En donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T > Tm; en consecuencia, lo lógico es que k < 0





















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