Campos Direccionales

Elementos lineales • Campo de direcciones • Campo dependientes • Campo de elementos lineales

Elementos lineales Examinemos la ecuación diferencial de primer orden dyldx = y. Esta ecuación significa que las pendientes de las tangentes a la grafica de una solución están determinadas por la función f(x, y) = y. Cuando f(x, y) se mantiene constante  esto es, cuando y = c, donde c es cualquier constante real estamos obligando a que la pendiente de las tangentes a las curvas de solución tenga el mismo valor constante a lo largo de una línea horizontal; por ejemplo, para y = 2 podemos trazar una serie de segmentos lineales cortos o elementos lineales (cada uno de pendiente 2) con su punto medio en la línea. Como vemos en la figura 9.2, las curvas de solución cruzan esta recta horizontal en cada punto tangente a los elementos lineales.

Isoclinas y campos de direcciones La ecuación y = c representa una familia a un parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familia f(x, y) = c se llama isoclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dyldx = f(x, y). Según apreciamos en la figura 9.3a), el campo de direcciones recuerda las "líneas de flujo" de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial y' = y. Si deseamos una solución que pase por el punto (0, 1), debemos formar una curva, como se indica en gris en las  figura 9.3b), que pase por este punto de modo que atraviese las isoclinas con las inclinaciones adecuadas.

FIGURA 9.3

EJEMPLO 1 Campo de direcciones

Trace el campo de direcciones e indique varios posibles miembros de la familia de curvas de solución de dyldx = xly.

SOLUCION Antes de trazar el campo de direcciones que corresponde a las isoclinas x/y = c o y = xlc, se debe examinar la ecuación diferencial para cerciorarse de que proporcione la siguiente información.

i) Si una curva de solución cruza el eje x (y = 0), lo hace tangente a un elemento lineal vertical en cada punto, excepto quizás en (0, 0).

ii) Si una curva de solución cruza el eje y (x = 0), lo hace tangente a un elemento lineal horizontal en cada punto, excepto quizás en (0, 0).

i) Los elementos lineales correspondientes a las isoclinas c =1 y c =  1 son colineales con  las rectas y = x y y =  -X, respectivamente. En realidad, y = x y y = -x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada (compruébelo). Obsérvese que, en general, las isoclinas no son soluciones de una ecuación diferencial.

La figura 9.4 muestra el campo de direcciones y varias curvas de solución posibles en gris. Recuérdese que sobre una isoclina todos los elementos lineales son paralelos. También se pueden trazar los elementos lineales de tal manera que sugieran el curso de determinada curva; en otras palabras, podemos imaginar que las isoclinas están tan próximas que si se unieran los elementos lineales tendríamos una curva poligonal que indicara la forma de una curva suave de solución.

EJEMPLO 2 Solución aproximada

La ecuación diferencial dyldx = x2 + y2 no se puede resolver en términos de funciones elementales. Por medio de un campo de direcciones, determine una solución aproximada que satisfaga y(0) = 1.

FIGURA 9.4

SOLUCION Las isoclinas son circunferencias  concéntricas definidas por x2 +y2 = c, c > 0. Cuando c = ¼, c = 1, c = 9/4 y c = 4 se obtienen circunferencias de radio ½, 1, 3/2 y 2 [Fig. 9.5a)]. Los elementos lineales que se trazan en cada ci¬rculo tienen una pendiente que corresponde al valor elegido de c. A1 estudiar la figura 9.5a) parece lógico que una curva de solución aproximada que pase por el punto (0, 1) tenga la forma que se ilustra en la figura 9.5b).

FIGURA 9.5

Uso de computadora El trazo de un campo de dirección es sencillo pero muy tardado; es una de las tareas de las que se puede discutir si vale la pena hacerlas a mano una o dos veces en la vida, pero se pueden efectuar con eficiencia mediante el software adecuado. Si dyldx = xly y se usa el programa idóneo se obtiene la figura 9.6a). Obsérvese que en esta versión computadorizada de la figura 9.4 los elementos lineales se trazan con espaciamiento uniforme en sus isoclinas (que no se dibujan). El campo de direcciones que resulta sugiere aun más la forma de las curvas de solución. En la figura 9.6b), obtenida con un programa ODE volver, hemos sobrepuesto la curva aproximada de solución para la ecuación diferencial del ejemplo 2, que pasa por (0, 1), a su campo de direcciones generado por computadora.

FIGURA 9.6

En los problemas 1 a 4 use el respectivo campo de direcciones generado por computadora para trazar diversas curvas de solución posibles de la ecuación diferencial indicada.

Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

Y la solución de la misma viene dada por: